歷史回憶#1 – Leonhard Euler

歷史回憶#1 – Leonhard Euler

 

上文提及的e(Euler’s number),是計算增長率(growth rate)的一個重要數字。

 

我們要計算1年的增長率,會按:(年末數字/年初數字 -1)x100%去得出年度增長率或回報率,即:

 

年末數字 = 年初數字x(1 + 年度增長率)

 

 

當此增長或回報是每半年出現一次,例如債券每半年派息一次,每半年的回報會疊加上本金,公式是:

 

年末數字 = 年初數字x(1+年度增長率/2)2

 

 

如果是每月增長一次,即每月派息,公式便是:

 

年末數字 = 年初數字x(1+年度增長率/12)12

 

 

如果是時時刻刻都增長,即將增長細分至無限小,公式便是:

 

年末數字 = 年初數字x(1+年度增長率/n)n ,n趨近無限大

 

為甚麼要細分至無限小?投資物的回報變化細至一個價位變動(tick size)便無可再細,但細胞生長呢?物質的衰變呢?大自然的增長率不是一格一格(discrete)變化,而是連續不斷的(continuous),所以數學家便要找尋連續不斷、可細分至無限小的增長率公式,而數學家Euler將符號e定義為:

 

er = (1+r/n)n ,r是年度增長率,n趨近無限大

 

便可以將上述無限細分的增長率公式:

 

年末數字 = 年初數字x(1+年度增長率/n)n ,n趨近無限大

 

轉變成:

 

年末數字 = 年初數字x er ,r是年度增長率

 

如果r = 1,

e = (1+1/n)n ,n趨近無限大

 

計算後得出e的數值是2.7182818284590….

 

 

 

另外,如果將r調往左邊,數式:年末數字 = 年初數字x er,可變成:

 

er = (年末數字/年初數字)

r = ln (年末數字/年初數字),這就是「對數回報」(log return)的由來,至於使用對數回報的其他優點,詳見《積金大反擊》第39頁。

 

 

 

太複雜了吧!為了幫助大家從中學數學的噩夢中抽身出來,給大家說個真人真事作本文結束。

 

話說Google於2004年的首次上市(IPO),當時Google呈報上監管機構的公開集資金額是US$2,718,281,828,數字咁零丁,依依依依…等等,好似見過,無錯,就是e的數值2.718281828…!!!世事不會這麼巧合,而是Google的創辦人是刻意按照e的數值,去制定集資金額!!!

 

Google是一間以創意掛帥的公司,兩位創辦人是Standford的博士畢業生,喜歡創新,Google旗下的Gmail、Youtube、Google Map、Android等等,現今已是人類的生活必需品,而近期佳作又有圍棋之神AlphaGO。

 

投資Google有冇得諗?睇下股神畢菲特點講。

 

投資前要自行計算一下回報及波幅,Google自2004年上市至2017年4月,年均回報約為21.1%,按月波幅8.94%,已考慮期間的拆細,至於是否滿足自己的年歲波幅凱利數字,自行再看看吧。

 

 

介紹完數學之王,下次會有數學王子出場

 

 

 

延伸影片:

 

什麼是e

 

Euler生平