關於運用百分比的謬誤
百分比 (或百分率 percentage) 是大家最常見及最常用的比率，由百貨公司的折扣到銀行的存款利率，百分比是最常用的數學算式。
不過，正正就是因為最常用，人們使用時就會最掉以輕心，時不時都會出現使用百分比的謬誤。
有一個經常見到，又覺得似是而非，但又說不出其問題所在的是投資回報百分比的謬誤。
話說有些人認為在投資的領域之內，蝕錢很容易但賺錢很困難，所以有個格言叫人不會蝕錢。 (筆者按：真的可以嗎？不蝕錢等於零波幅嗎？零波幅有正回報的嗎？)
這些人為了證明「蝕錢很容易但賺錢很困難」這個論點，便用了以下的百分比計算作為證明：
股票由$100 下跌到$50 只需要-50%;
但股票由$50上升到$100 則要 +100% , 所以賺錢 +100%是比蝕錢-50%困難。
這個由$100下跌到$50再上升到$100的百分比論證，大家都可能聽過。大家認為合理嗎？+100% 真的比-50% 困難？
大家有否隱約覺得有點怪怪的？明明最初到最後都是$100，為何有不同的升跌百分比會於計算期間出現？
1. 百分比只是一個算式，要放入實際情境才有意義
一個身家一億的人一年有10%資產上升，與一個身家一百元的人一年有10%資產上升，那位比較容易？其實是不能比較，因為基數不一樣。所以，要比較兩個百分比，先要把兩個百分比背後的基數統一，才有比較的意義。
2. 回報的計算是一個預期值，要放入資產比重才能獲得正確的預期回報
正確的回報公式，是weight1 x return 1 + weight2 x return2 = (weight 1 + weight 2) x expected return
expected return = weight1 / (weight 1 + weight 2) x return 1 + weight2 /(weight 1 + weight 2) x return2
簡單來說，即是一百萬投資物有10% 回報與及一千元投資物有50%回報，合計的預期回報不是10%+ 50% ＝60%, 而是要考慮各回報率背後投資物的資產比重。
好了，看完上述兩個使用百分比公式時要有的準則，我們回到「股票由$100 下跌到$50 只需要-50%;但股票由$50上升到$100 則要 +100%，所以賺錢是比蝕錢困難」這個論點，大家此刻應該會發現此論點的盲點，就是沒有統一基數或考慮資產比重。
計算下跌50%，基數是$100; 但計算上升100%，基數是$50，所以兩者的百分比不能直接比較，甚至直接加減。
這個百分比謬誤出現的原因，其中之一是人們太依賴簡單的「算術回報」(arithmetic return)，可是，算術平均的計算是需要rebase 才有可比較的正確結果，否則只是亂加亂減，尤其是用於本利疊加的股票投資，任意使用「算術回報」是不太可靠。於百分比數字低時誤差較少，尚算正確，但到了百分之幾十的計算，例如上述的-50% 及+100%，不理會基數而隨意比較的話，就會得出似是而非的結果。
但如果大家是採用「對數回報」(logarithmatic return) 去計算回報率的話，就可以免除這個謬誤，因為Ln($50/$100) = -0.69 , 而Ln ($100/$50) = +0.69 , 這兩個「對數回報」甚至可以相加而得出0 。如果使用「算術回報」，-50% + 100% = +50%，就是計算錯誤及論證謬誤的由來。
詳細可見<積金大反擊>第38頁。
為大家介紹多一個常見的百分比謬誤，假如有一隻病毒的感染率十分之低，只有0.0001%機會中招，即一百萬人只有一人中招。另外，檢測該病毒的正確率又非常之高，有99.9999% 機會是檢測正確，即一百萬次檢測只有一次錯誤，那麼，如果有人的檢測結果是陽性，這人是否可以肯定是中招？
憑感覺的話，感染率極低而檢測正確率又極高，如果是檢測結果是陽性，就肯定中招啦！
正確答案是只有50%機會是中招。
點解？因為要考慮基數。
一個人「中招及檢測正確」的機會率是：
=中招基數百分比 x 檢測正確百分比
=0.0001% x 99.9999%
一個人「沒有中招及檢測錯誤」的機會率是：
=不中招基數百分比 x 檢測錯誤百分比
= (100% – 0.0001%) x ( 100%- 99.9999%)
= 99.9999% x 0.0001%
所以，這個例子內一個人「中招及檢測正確」的機會率，是等同於一個人「沒有中招及檢測錯誤」的機會率，即是說如果有人的檢測結果是陽性，其實只有50%機會是中招，另一半機會是沒有中招但檢測錯誤。
小結
憑感覺很容易出錯，但正確地運用的計算公式及放入真實的情境，便會減少謬誤的出現。
延伸思考
股票的投資，回報中位數一般是大於零，當波幅是跟隨常態分布的話，上升(回報>0%)的機會是大於下跌的，尤其投資的時間愈長，賺錢的機會愈高。所以「蝕錢很容易但賺錢很困難」這個論點是不成立的。
